【正确答案】(Ⅰ)由于A³α=3Aα-2A²α，故
A⁴α=3A²α-2A³α=3A²α-2(3Aα-2A²α)=7A²α-6Aα.
若k₁α+k₂Aα+k₃A⁴α=0，即k₁α+k₂Aα+k₃(7A²α-6Aα)=0,
亦即k₁α+(k₂-6k₃)Aα+7k₃A²α=0，因为α，Aα，A²α线性无关，故

所以，α，Aα，A⁴α线性无关，因而矩阵B可逆.
(Ⅱ)因为(B^TB)^T=B^T(B)^T=B^TB，故B^TB是对称矩阵，又

【答案解析】①由
易知亦可证得B可逆.
②正定矩阵是由二次型引出的，二次型矩阵A是实对称矩阵，因此若要证明A是正定矩阵，应先验证A是对称矩阵.
③要会用定义法证明正定，要熟悉向理的内积：(α，β)=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=α^Tβ，特别地那么