解答题
17.(1)求函数项级数e－x+2e－2x+…+ne－nx+…收敛时x的取值范围；
(2)当上述级数收敛时，求其和函数S(x)，并求∫ln2ln3S(x)dx．
(2)当上述级数收敛时，求其和函数S(x)，并求∫ln2ln3S(x)dx．
【正确答案】(1)该函数项级数的通项
un(x)=ne－nx，un+1(x)=(n+1)e－(n+1)x．
故当
收敛；
当x＜0时，
发散；
当x=0时，该级数成为1+2+???+n+…，显然是发散的．
综上，当x＞0时该级数收敛于S(x)．
(2)S(x)=e－x+2e－2x+…+ne－nx+…
t+2t2+…+ntn+…
=t(1+2t+…+ntn－1+…)=t(t+t2+…+tn+…)'
un(x)=ne－nx，un+1(x)=(n+1)e－(n+1)x．
故当
收敛；
当x＜0时，
发散；当x=0时，该级数成为1+2+???+n+…，显然是发散的．
综上，当x＞0时该级数收敛于S(x)．
(2)S(x)=e－x+2e－2x+…+ne－nx+…
t+2t2+…+ntn+…=t(1+2t+…+ntn－1+…)=t(t+t2+…+tn+…)'
【答案解析】