设α
1
，α
2
，α
3
都是n维非零向量，证明：α
1
，α
2
，α
3
线性无关
【正确答案】正确答案：α
1
＋sα
3
，α
2
＋tα
3
，α
1
，α
2
，α
3
的表示矩阵为 C＝
显然对任何数s，t，C的秩都是2，于是α
1
＋sα
3
，α
2
＋tα
3
的秩为2，线性无关． 在s＝t＝0时，得α
1
，α
2
线性无关，只要再证明α
3
不可用α
1
，α
2
线性表示．如果α
3
可以用α
1
，α
2
线性表示，设 α
3
＝c
1
α
1
＋c
2
α
2
， 则因为α
3
＝不是零向量，c
1
，c
2
不能全为0．不妨设c
1
≠0，则有 c
1
(α
1
－
α
3
)＋c
2
α
2
＝0， 于是α
1
－
α
3
，α
2
线性相关，即当s＝－
显然对任何数s，t，C的秩都是2，于是α
1
＋sα
3
，α
2
＋tα
3
的秩为2，线性无关． 在s＝t＝0时，得α
1
，α
2
线性无关，只要再证明α
3
不可用α
1
，α
2
线性表示．如果α
3
可以用α
1
，α
2
线性表示，设 α
3
＝c
1
α
1
＋c
2
α
2
， 则因为α
3
＝不是零向量，c
1
，c
2
不能全为0．不妨设c
1
≠0，则有 c
1
(α
1
－
α
3
)＋c
2
α
2
＝0， 于是α
1
－
α
3
，α
2
线性相关，即当s＝－
【答案解析】