设矩阵A可逆，且A的每一行元素之和均等于常数a，试证：(1)a≠0；
(2)A
-1
的每行元素之和都等于
【正确答案】正确答案：
若a=0，则|A|=0，与A可逆矛盾．故a≠0。 (2)令A=(α
1
，α
2
，…α
n
)，A
-1
=(β
1
，β
2
，…β
n
)，E=(e
1
，e
2
，…，e
n
) 因为A
-1
A=E，所以有A
-1
α
j
=e
j
(j=1，2，…n) 于是A
-1
α
1
+A
-1
α
2
+…+A
-1
α
n
=A
-1
(α
1
+α
2
+…+α
n
)=e
1
+e
2
+…+e
n
，
若a=0，则|A|=0，与A可逆矛盾．故a≠0。 (2)令A=(α
1
，α
2
，…α
n
)，A
-1
=(β
1
，β
2
，…β
n
)，E=(e
1
，e
2
，…，e
n
) 因为A
-1
A=E，所以有A
-1
α
j
=e
j
(j=1，2，…n) 于是A
-1
α
1
+A
-1
α
2
+…+A
-1
α
n
=A
-1
(α
1
+α
2
+…+α
n
)=e
1
+e
2
+…+e
n
，
【答案解析】