设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX=ax
1
2
+2
2
2
+(-2
3
2
)+2bx
3
2
(b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵．
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)由题设，二次型f相应的矩阵为A=
设A的3个特征值为λ
1
，λ
2
，λ
3
，则由已知条件知λ
1
+λ
2
+λ
3
=1，λ
1
λ
2
λ
3
=-12；利用“矩阵特征值之和=矩阵主对角线元素之和”及“特征值之积=矩阵行列式”两个关系，得
，可求出b=2，即a=1，b=2． (Ⅱ)由｜A-λE｜=0，即
，可求出A的特征值为 λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=-3．不难求得对应于λ
1
=λ
2
=2的特征向量为ξ
1
=
对应于λ
3
=-3的特征向量为ξ
3
=
，对λ
1
，λ
2
，λ
3
正交规范化，得
令矩阵P=(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)=
则P为正交矩阵，在正交变换x=Py下，其中y=
设A的3个特征值为λ
1
，λ
2
，λ
3
，则由已知条件知λ
1
+λ
2
+λ
3
=1，λ
1
λ
2
λ
3
=-12；利用“矩阵特征值之和=矩阵主对角线元素之和”及“特征值之积=矩阵行列式”两个关系，得
，可求出b=2，即a=1，b=2． (Ⅱ)由｜A-λE｜=0，即
，可求出A的特征值为 λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=-3．不难求得对应于λ
1
=λ
2
=2的特征向量为ξ
1
=
对应于λ
3
=-3的特征向量为ξ
3
=
，对λ
1
，λ
2
，λ
3
正交规范化，得
令矩阵P=(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)=
则P为正交矩阵，在正交变换x=Py下，其中y=
【答案解析】