f(x)在[_一1,1]上三阶连续可导,且f(一1)=0,f(1)=1,f"(0)=0.证明:存在ξ∈(一1,1),使得f""(ξ)=3.
【正确答案】正确答案:由泰勒公式得 两式相减得f""(ξ 1 )+f""(ξ 2 )=6. 因为f(x)在[一1,1]上三阶连续可导,所以f""(z)在[ξ 1 ,ξ 2 ]上连续,由连续函数最值定理,f""(x)在[ξ 1 ,ξ 2 ]上取到最小值m和最大值M,故2m≤f""(ξ 1 )+f""(ξ 2 )≤2M, 即m≤3≤M. 由闭区间上连续函数介值定理,存在ξ∈[ξ 1 ,ξ 2 ]
【答案解析】