解答题
设φ(x)在区间(a，b)内二阶可导，且φ"(x)≥0，则
【正确答案】
【答案解析】[证]
由于φ(x)在(a，b)内二阶可导，因此φ(x)在x=x0处可展成一阶泰勒公式：
因为 φ"(x)≥0，x∈(a，b)，所以φ"(ξ)≥0，
于是 φ(x)≥φ(x0)+φ'(x0)(x-x0)．
分别令x为x1，x2，…，xn，同时分别乘以正数p1，p2，…，pn得
p1φ(x1)≥p1φ(x0)+p1φ'(x0)(x1-x0)，
p2φ(x2)≥p2φ(x0)+p2p'(x0)(x2-x0)，
pnφ(xn)≥pnφ(x0)+pnφ'(x0)(xn-x0)．
将以上几个不等式左右分别相加得
p1φ(x1)+p2φ(x2)+…+pnφ(xn)≥(p1+p2+…+pn)φ(x0)+φ'(x0)[(p1x1+p2x2+…+pnxn)=x0(p1+p2+…+pn)]=(p1+p2+…+pn)φ(x0)，(因为x0=
最后一项为零)．
故
由于φ(x)在(a，b)内二阶可导，因此φ(x)在x=x0处可展成一阶泰勒公式：
因为 φ"(x)≥0，x∈(a，b)，所以φ"(ξ)≥0，
于是 φ(x)≥φ(x0)+φ'(x0)(x-x0)．
分别令x为x1，x2，…，xn，同时分别乘以正数p1，p2，…，pn得
p1φ(x1)≥p1φ(x0)+p1φ'(x0)(x1-x0)，
p2φ(x2)≥p2φ(x0)+p2p'(x0)(x2-x0)，
pnφ(xn)≥pnφ(x0)+pnφ'(x0)(xn-x0)．
将以上几个不等式左右分别相加得
p1φ(x1)+p2φ(x2)+…+pnφ(xn)≥(p1+p2+…+pn)φ(x0)+φ'(x0)[(p1x1+p2x2+…+pnxn)=x0(p1+p2+…+pn)]=(p1+p2+…+pn)φ(x0)，(因为x0=
最后一项为零)．故