【正确答案】 B

【答案解析】第①组．用配方法． 故A的秩为3，正惯性指数为2． 故B的秩为2，正惯性指数为2． 因rA≠rB，所以A与B不合同． 第②组．f(x1，x2，x3)=xTAx与g(y1，y2，y3)=yTBy的矩阵分别为对角矩阵 有 rA=rB， A的正惯性指数=B的正惯性指数， 所以A与B合同． 第③组．f(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵为 所以A的秩为3，正惯性指数为3． 又 故B的秩为3，正惯性指数为2，因 A的正惯性指数≠B的正惯性指数， 所以A与B不合同． 综上所述，第②组合同．选B． [注1] 本题为判别第①组、第③组二次型的矩阵是否合同，计算矩阵的正惯性指数都采用了配方法化二次型为标准形，而没有用求矩阵的特征值．其实后者也是简便的，比如第③组的g(y1，y2，y3)=yTBy=的矩阵 因 故B的秩为3，正惯性指数为2，可推出相同结论． [注2] 本题第②组的矩阵A与B合同是用判别法判定的．能否找出可逆矩阵C，使得CTAC=B?回答是肯定的，具体如下： 令 x1=y2，x2=y3，x3=y1，(*) 则 将(*)式改写成矩阵形式 并将该记为x=Cy，因|C|=1≠0，故C为可逆矩阵，且有 f(x1，x2，x3)=xTAx=(Cy)TACY =yT(CTAC)y =yTBY， 所以CTAC=B，故所求的可逆矩阵 为强调这个方法，不妨再做下面这个题目： 注例 设3阶实对称矩阵 其中k1，k2，k3为大于0的任意常数．证明A与B合同，并求出可逆矩阵C，使得CTAC=B． 证 A所对应的二次型为 作线性变换 则 将线性变换改写成矩阵形式 并将该式记为x=Cy，因所以C为可逆矩阵，且CTAC=B，故A与B合同，所以所求的可逆矩阵