解答题设二次型

经过正交变换X=QY化为标准形

问答题求a，b的值；

【正确答案】解：由已知得，二次型矩阵因为所以A～Λ，于是A的特征值为1，1，4．思路一：由得a=2．得b=1．思路二：由|λE-A|=λ3-(a+4)λ2+(4a-b2+2)λ+(-3a-2b+2b2+2)，所以有 λ3-(a+4)λ2+(4a-b2+2)λ+(-3a-2b+2b2+2)=(λ-1)2(λ-4) =λ3-6λ2+9λ-4．建立方程组解之得a=2，b=1．

【答案解析】

问答题求正交矩阵Q．

【正确答案】解：当λ1=λ2=1时，由(E-A)X=0得当λ3=4时，由(4E-A)X=0得显然ξ1，ξ2，ξ3两两正交，单位化为则正交矩阵为

【答案解析】

问答题设A是s×n矩阵，B是A的前m行构成的m×n矩阵，已知A的行向量组的秩为r．证明：r(B)≥r+m-s。

【正确答案】证：因(A的行向量的个数s)-(A的线性无关行向量的个数r(A))≥(B的行向量个数m)-(B的线性无关的行向量的个数r(B))，即 s-r(A)≥m-r(B)，得 r(B)≥r(A)+m-s=r+m-s．

【答案解析】