【正确答案】本案存在的程序问题主要有三个方面：
   (1)该中级人民法院在上诉期满后并未主动启动死刑复核程序。依据我国刑事诉讼法规定，死刑案件上诉、抗诉期满后，中级法院应主动启动死刑复核程序。
   (2)高级法院在复核过程中并未提审被告人。依据我国刑事诉讼法规定，高级法院在复核过程中，应当提审并讯问被告人。
   (3)死刑缓期执行期间，张某因故意犯罪由基层人民法院进行审判。依据我国刑事诉讼法规定，在死刑缓期执行期间，被告人因故意犯罪，应当由服刑地中级法院进行一审，所作判决可以上诉、抗诉。认定构成故意犯罪的判决发生法律效力后，应当层报最高人民法院核准执行死刑。