解答题
12.设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，且f′+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f〞(ξ)＜0．
【正确答案】因为
＝f′＋(a)＞0，所以存在δ＞0，当0＜χ－a＜δ时，有
＞0，从而f(χ)＞f(a)，于是存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)＝0
由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)使得
再由微分中值定理及f(χ)的二阶可导性，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
(a，b)，使得
＝f′＋(a)＞0，所以存在δ＞0，当0＜χ－a＜δ时，有＞0，从而f(χ)＞f(a)，于是存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)＝0由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)使得
再由微分中值定理及f(χ)的二阶可导性，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
(a，b)，使得【答案解析】