【正确答案】
C
【答案解析】利用“用秩判断线性表示”的有关性质.
当r=n时,任何n维向量添加进α1,α2,…,αs时,秩不可能增大,从而(A)正确.
如果(B)的条件成立,则任何n维向量组β1,β2,…,βt都可用α1,α2,…,αs线性表示,从而r(β1,β2,…,βt)≤r(α1,α2,…,αs).如果取β1,β2,…,βn是一个n阶可逆矩阵的列向量组,则得
n=r(β1,β2,…,βn)≤r(α1,α2,…,αs)≤n,
从而r(α1,α2,…,αs)=n,(B)正确.
(D)是(B)的逆否命题,也正确.
由排除法,得选项应该为(C).下面分析为什么(C)不正确.
r=s只能说明α1,α2,…,αs线性无关,如果r<n,则用(B)的逆否命题知道存在n维向量不可用α1,α2,…,αs线性表示,因此(C)不正确.