设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，当X取到x(0＜x＜1)时，随机变量Y等可能地在(x，1)上取值。试求：(Ⅰ)(X，Y)的联合概率密度；(Ⅱ)关于Y的边缘概率密度函数；(Ⅲ)P{X+Y＞1}。
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)根据题设X在(0，1)上服从均匀分布，因此其概率密度函数为
而变量Y，在X=x的条件下，在区间(x，1)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为
再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度 f(x，y)= f
X
(x) f
Y|X
(y|x)=
(Ⅱ)根据求得的联合概率密度，不难求出关于Y的边缘概率密度 当0＜y＜1时，f
Y
(y)=∫
—∞
+∞
f(x，y)dx=∫
0
y
=一ln(1一y)； 当y≤0或y≥1时，f
Y
(y)=0，所以f
Y
(y)=
(Ⅲ)如图3—3—4所示
而变量Y，在X=x的条件下，在区间(x，1)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为
再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度 f(x，y)= f
X
(x) f
Y|X
(y|x)=
(Ⅱ)根据求得的联合概率密度，不难求出关于Y的边缘概率密度 当0＜y＜1时，f
Y
(y)=∫
—∞
+∞
f(x，y)dx=∫
0
y
=一ln(1一y)； 当y≤0或y≥1时，f
Y
(y)=0，所以f
Y
(y)=
(Ⅲ)如图3—3—4所示
【答案解析】