【答案解析】证法1 因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0．又因为函数f(x)在区间[0，1]上可导，且f(1)=1，所以由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0，1)，使得
f"(ξ)=f(1)-f(0)=1．
证法2 令F(x)=f(x)-x，则F(0)=f(0)=0，F(1)=f(1)-1=0，由罗尔定理得，存在ξ∈(0，1)，
使得F"(ξ)=0，即f"(ξ)=1．

【答案解析】证法1 因为f(x)是区间[-1，1]上的奇函数且有2阶导数，所以f"(x)是偶函数，故
f"(-ξ)=f"(ξ)=1．
令F(x)=[f"(x)-1]e ^x ，则函数F(x)可导，且F(-ξ)=F(ξ)=0．
根据罗尔中值定理，存在η∈(-ξ，ξ) (-1，1)，使得F"(η)=0．因为
F"(η)=[f"(η)+f"(η)-1]e ^η 且e ^η ≠0，
所以f"(η)+f"(η)=1．
证法2 因为f(x)是区间[-1，1]上的奇函数且有2阶导数，所以f(x)是偶函数．
令F(x)=f"(x)+f(x)-x，则函数F(x)在区间[-1，1]上可导，且
F(1)=f"(1)+f(1)-1=f"(1)，
F(-1)=f"(-1)+f(-1)+1=f"(1)-f(1)+1=f"(1)，
根据罗尔中值定理．存在η∈(-1，1)，使得F"(η)=0．
由F"(x)=f"(x)+f"(x)-1，知
f"(η)+f"(η)-1=0，即f"(η)+f"(η)=1．
证法3 因为f(x)是区间[-1，1]上的奇函数且有2阶导数，所以f"(x)是偶函数，f"(x)是奇函数．
由第一小题知，存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=1．
令F(x)=f"(x)+f"(x)-1，则
F(ξ)=f"(ξ)+f"(ξ)-1=f"(ξ)，
F(-ξ)=f"(-ξ)+f"(-ξ)-1=-f"(ξ)+f"(ξ)-1=-f"(ξ)．
当f"(ξ)=0时，f"(ξ)+f"(ξ)-1=0，即f"(ξ)+f"(ξ)=1．结论得证．
当f"(ξ)≠0时，F(ξ)F(-ξ)=-[f"(ξ)] ² ＜0．由于F(x)=[f"(x)+f(x)-x]"，根据导函数的介值性质，存在η∈(-ξ，ξ)