问答题
求微分方程y"+y=cos ax的通解，其中常数a＞0.
【正确答案】
【答案解析】[解] 对于原方程对应的齐次线性方程y"+y=0，解特征方程r
2
+1=0，得r
1，2
=±i，故它的通解为Y=C
1
cosx+C
2
sinx．
当a=1时，设原方程的一个特解为y*=x(Mcosx+Nsinx)．
把y*和y*"代入原方程得
2Ncosx-2Msinx=cosx.
列方程组
解得
故
当a≠1时，设原方程的一个特解为y*=Mcosax+Nsinax
把y*和y*"代入原方程得
(1-a 2 )(Mcosax+Nsinax)=cosax．
列方程组
解得
所以，原方程的通解为
当a=1时，设原方程的一个特解为y*=x(Mcosx+Nsinx)．
把y*和y*"代入原方程得
2Ncosx-2Msinx=cosx.
列方程组
解得
故
当a≠1时，设原方程的一个特解为y*=Mcosax+Nsinax
把y*和y*"代入原方程得
(1-a 2 )(Mcosax+Nsinax)=cosax．
列方程组
解得
所以，原方程的通解为