（2004年真题）若α，β，γ线性无关，而向量α+2β，2β+kγ，3γ+α线性相关，则k=[ ]。
【正确答案】
D
【答案解析】解析：本题主要考查向量组的线性相关性和线性无关性。 解法1 考虑x
1
(α+2β)+x
2
(2β+kγ)+x
3
(3γ+α)=0，即(x
1
+x
3
)α+(2x
1
+2x
2
)β+(kx
2
+3x
3
)γ=0。因α，β，γ线性无关，所以
又由向最组α+2β，2β+kγ，3γ+α线性相关，所以有x
1
，x
2
，x
3
不全为0，故齐次线性方程组
， 有非零解，因而
=6+2k=0，解得k=-3。故正确选项为D。 解法2 (α+2β，2β+kγ，3γ+α)=(α，β，γ)
由题设，α，β，γ线性无关，向量α+2β，2β+kγ，3γ+α线性相关，可得矩阵(α，β，γ)的秩等于3，矩阵(α+2β，2β+kγ，3γ+α)的秩小于3，因此矩阵
的秩必小于3 (否则，矩阵(α+2β，2β+kγ，3γ+α的秩等于3)，从而有
解得k=-3。 解法3 特殊值代入法。把α，β，γ看作三维单位向量，
因向量组α+2β，2β+kγ，3γ+α线性相关，所以
又由向最组α+2β，2β+kγ，3γ+α线性相关，所以有x
1
，x
2
，x
3
不全为0，故齐次线性方程组
， 有非零解，因而
=6+2k=0，解得k=-3。故正确选项为D。 解法2 (α+2β，2β+kγ，3γ+α)=(α，β，γ)
由题设，α，β，γ线性无关，向量α+2β，2β+kγ，3γ+α线性相关，可得矩阵(α，β，γ)的秩等于3，矩阵(α+2β，2β+kγ，3γ+α)的秩小于3，因此矩阵
的秩必小于3 (否则，矩阵(α+2β，2β+kγ，3γ+α的秩等于3)，从而有
解得k=-3。 解法3 特殊值代入法。把α，β，γ看作三维单位向量，
因向量组α+2β，2β+kγ，3γ+α线性相关，所以