问答题
在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与z轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．
【正确答案】
【答案解析】解 设所求曲线为y=y(x)，该曲线在点P(x，y)的法线方程为
令Y=0，得X=x+yy"，该点到x轴法线段PQ的长度为
由题意得
，即yy"=1+y"
2
．
令y"=p，则
，则有
，或者
，两边积分得
，由y(1)=1，y"(1)=0得C
1
=0，所以
，变量分离得
，两边积分得
，由y(1)=1得C
2
=
1，
所以
，即
，
又
，所以
，
两式相加得
令Y=0，得X=x+yy"，该点到x轴法线段PQ的长度为
由题意得
，即yy"=1+y"
2
．
令y"=p，则
，则有
，或者
，两边积分得
，由y(1)=1，y"(1)=0得C
1
=0，所以
，变量分离得
，两边积分得
，由y(1)=1得C
2
=
1，
所以
，即
，
又
，所以
，
两式相加得