解答题
20.设f(x)在[0，1]上连续且单调减少．证明：当0＜k＜1时，∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．
【正确答案】∫0kf(x)dx－k∫01f(x)dx=∫0kf(x)dx－k[∫0kf(x)dx+∫k1f(x)dx]
=(1－k)∫0kf(x)dx－k∫k1f(x)dx
=k(1－k)[f(ξ1)－f(ξ2)]
其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]．因为0＜k＜1且f(x)单调减少，
所以∫0kf(x)dx－k∫01f(x)dx=k(1－k)[f(ξ1)－f(ξ2)]≥0，故∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．
【答案解析】