问答题
假设存在一个社会，这个社会由三个消费者组成。他们分别是：1，2．3，同时该社会存在着两种商品，分别是x和y．经济学家Debreu对这三个消费者的消费行为进行分析，他认为1．2，3的偏好可以分别用如下的效用函数来表示：
1: u
1
(x,y)=xy；2：u
2
(x,y)=x
α
y
β
，其中α＞0，β＞0； 3；u
3
=γlnx+(1-γ)lny，其中γ∈(0,1)
问答题
请画出消费者1的无差异曲线以及偏好的上等值集：
【正确答案】正确答案：令效用等于常数，x和y的关系即为消费者的无差异曲线。消费者1的无差异曲线及上等值集如下图所示：
【答案解析】
问答题
假如商品x和商品y的价格分别是2单位货币和3单位货币，同时消费者1拥有120单位货币，试计算他对x和y的最优消费量；
【正确答案】正确答案：消费者的问题可以用下面的数学规划表示：
根据C-D效用函数的性质，上述问题等价
构造拉格朗日函数为：L(x,y,λ)=αlnx+βlny-λ(2x+3y一120) 拉格朗日函数对自变量求导有：
可以得到：
根据C-D效用函数的性质，上述问题等价构造拉格朗日函数为：L(x,y,λ)=αlnx+βlny-λ(2x+3y一120) 拉格朗日函数对自变量求导有：可以得到：【答案解析】
问答题
证明；消费者2和消费者3的偏好是一致的；
【正确答案】正确答案：根据效用函数的性质：效用函数的线性变换依然是同一偏好的效用函数。对消费者2的效用函数进行取自然对数的线性变换，可以得到：lnu
2
=αlnx+βlny。 令α=γ,β=1一γ，因此lnu
2
=δlnx+(1-δ)lny=u
3
． 因此，消费者2和消费者3的效用函数是同一偏好的效用函数，即消费者2和消费者3的偏好是一致的。
【答案解析】
问答题
现在假设商品x和商品y的价格分别是p
1
和p
2
，消费者2拥有1单位货币,请计算他的消费选择；
【正确答案】正确答案：消费者的问题可以用下面的数学规划表示：
根据C-D效用函数的性质，上述问题等价：
构造拉格朗日函数为：L(x,y,λ)=αlnx+βlny一λ(P
1
x+P
2
y一I) 拉格朗日函数对自变量求导有：
可以得到：
根据C-D效用函数的性质，上述问题等价：
构造拉格朗日函数为：L(x,y,λ)=αlnx+βlny一λ(P
1
x+P
2
y一I) 拉格朗日函数对自变量求导有：
可以得到：
【答案解析】
问答题
用公式和图像给出消费者3对于x商品的收入消费路径。
【正确答案】正确答案：消费者3的最优化问题和消费者2是相同的。当X的价格不变时，x与I的数量关系就是x商品的收入途径。其图形如下：
【答案解析】