问答题
设f(x)在区间[一a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，且f(0)=0．
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
(2)证明：存在η∈[-a，a]，使a
3
f"(η)=3∫
-a
a
f(x)dx．
【正确答案】正确答案：(1)对任意x∈[一a，a]，有
(2)
因为f"(x)在[一a，a]上连续，由最值定理：m≤f"(x)≤M，x∈[一a，a]，其中m，M分别为f"(x)的最小值和最大值．于是有 mx
2
≤f"(ξ)x
2
≤Mx
2
，
由介值定理，存在η∈[一a，a]，使得
(2)
因为f"(x)在[一a，a]上连续，由最值定理：m≤f"(x)≤M，x∈[一a，a]，其中m，M分别为f"(x)的最小值和最大值．于是有 mx
2
≤f"(ξ)x
2
≤Mx
2
，
由介值定理，存在η∈[一a，a]，使得
【答案解析】