解答题
15.[2011年] 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，
f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)∣0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分
I=
f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)∣0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=
【正确答案】将二重积分化为累次积分直接进行计算．同定积分一样，要让被积函数含偏导的子函数先进入微分号，用分部积分法求出二元函数．
解一 将二重积分化为累次积分进行计算得到
I=
xyf″xy(x，y)dxdy=∫01ydy∫01xf″xy(x，y)dx=∫01ydy∫01xdf′y(x，y)
=∫01[xf′y(x，y)∣01一∫01f′y(x，y)dx]ydy=∫01f′y(1,y)ydy一∫01∫01f′y(x，y)dxdy
=－∫01dx∫01yf′y(x，y)dy(因f(1，y)=0，故f′y(1，y)=0)
=－∫01[∫01ydf(x,y)]dx=－[∫01yf(x,y)∣01dx－∫01dx∫01(x,y)dy]
=一∫01f(x，1)dx+∫01∫01f(x，y)dxdy=
解一 将二重积分化为累次积分进行计算得到
I=
xyf″xy(x，y)dxdy=∫01ydy∫01xf″xy(x，y)dx=∫01ydy∫01xdf′y(x，y)=∫01[xf′y(x，y)∣01一∫01f′y(x，y)dx]ydy=∫01f′y(1,y)ydy一∫01∫01f′y(x，y)dxdy
=－∫01dx∫01yf′y(x，y)dy(因f(1，y)=0，故f′y(1，y)=0)
=－∫01[∫01ydf(x,y)]dx=－[∫01yf(x,y)∣01dx－∫01dx∫01(x,y)dy]
=一∫01f(x，1)dx+∫01∫01f(x，y)dxdy=
【答案解析】