问答题
设A是3阶实对称矩阵，A～B，其中B=
【正确答案】正确答案：(1)由A～B，知A，B有相同的秩和特征值．显然r(B)=1，B有特征值λ
1
=λ
2
=0且λ
1
+λ
2
+λ
3
=
=1+4+9，得λ
3
=14．故A有特征值λ
1
=λ
2
=0，λ
3
=14． (2)λ
1
=λ
2
=0是A的二重特征值，对应的线性无关特征向量最多有两个，由题设知ξ
1
=[1，1，0]
T
，ξ
3
=[0，2，1]
T
线性无关(取ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
，ξ
4
的极大线性无关组，不唯一)，故取η
1
=ξ
1
，η
2
=ξ
3
为λ=0的线性无关特征向量，因A是实对称矩阵，将λ
3
=14对应的特征向量设为η
3
=[x
1
，x
2
，x
3
]
T
，则η
3
与η
1
，η
2
正交，即η
1
T
η
3
=0，η
2
T
η
3
=0．于是有
解得基础解系为η
3
=[1，一1，2]
T
，故λ
3
=14对应的特征向量为kη
3
(其中k为任意不为0的常数)． (3)令P=[η
1
，η
2
，η
3
]，则
=1+4+9，得λ
3
=14．故A有特征值λ
1
=λ
2
=0，λ
3
=14． (2)λ
1
=λ
2
=0是A的二重特征值，对应的线性无关特征向量最多有两个，由题设知ξ
1
=[1，1，0]
T
，ξ
3
=[0，2，1]
T
线性无关(取ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
，ξ
4
的极大线性无关组，不唯一)，故取η
1
=ξ
1
，η
2
=ξ
3
为λ=0的线性无关特征向量，因A是实对称矩阵，将λ
3
=14对应的特征向量设为η
3
=[x
1
，x
2
，x
3
]
T
，则η
3
与η
1
，η
2
正交，即η
1
T
η
3
=0，η
2
T
η
3
=0．于是有
解得基础解系为η
3
=[1，一1，2]
T
，故λ
3
=14对应的特征向量为kη
3
(其中k为任意不为0的常数)． (3)令P=[η
1
，η
2
，η
3
]，则
【答案解析】