解答题
4.(2000年试题，九)已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+a(x)，其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且F(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．
【正确答案】题设要求的是切线方程，因此只需知道切点坐标及该点处切线斜率即可，由已知f(x)是周期为5的连续函数，因而求f'(6)及f(6)就等价于求f'(1)及f(1)，由关系式
再根据导数的定义，有
其中f(1)可由下述步骤确定：在原关系式中令x→0并结合f(x)的连续性可得f(1)一3f(1)=0，即f(1)=0，则由
=f’(1)+3f’(1)=4f’(1)因此f'(1)=2，由周期性知f'(6)=．f'(1)=2，f(6)=f(1)=0，所以待求切线方程为y=2(x一6)，即2x一y—12=0[评注]由于只知道f(x)连续，且在x=1处可导，所以其在x=6处的导数不能直接套用公式f'(x+T)=f'(x)，而得由导数的定义求得．
再根据导数的定义，有其中f(1)可由下述步骤确定：在原关系式中令x→0并结合f(x)的连续性可得f(1)一3f(1)=0，即f(1)=0，则由=f’(1)+3f’(1)=4f’(1)因此f'(1)=2，由周期性知f'(6)=．f'(1)=2，f(6)=f(1)=0，所以待求切线方程为y=2(x一6)，即2x一y—12=0[评注]由于只知道f(x)连续，且在x=1处可导，所以其在x=6处的导数不能直接套用公式f'(x+T)=f'(x)，而得由导数的定义求得．【答案解析】