解答题
19.设0＜a＜b，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f′(x)≠0，求证：存在ε，η∈(a，b)，使得
【正确答案】将待证等式改写为
等式右边启示我们应对f(x)及lnx在[a，b]上使用柯西中值定理．于是
上式右边还表示可对f(x)在[a，b]上使用拉格朗日中值定理．于是
证 由拉格朗日中值定理知，存在ε∈(a，b)，使
又由柯西中值定理知，存在η∈(a，b)，使
综合式①、式②即得
等式右边启示我们应对f(x)及lnx在[a，b]上使用柯西中值定理．于是
上式右边还表示可对f(x)在[a，b]上使用拉格朗日中值定理．于是
证 由拉格朗日中值定理知，存在ε∈(a，b)，使
又由柯西中值定理知，存在η∈(a，b)，使
综合式①、式②即得
【答案解析】