【正确答案】[分析] (1)利用连续函数零点定理证明根的存在性，利用单调性证明根的唯一性．
(2)由于f(x)连续且f(x)＞0，则F(x)处处可导．而|F(x)|与F(x)的可导性有何关系呢?
[证] 1)显然是[a，b]上的连续函数，由于

由连续函数零点定理知，F(x)在(a，b)内至少有一个零点，又

则F(x)在[a，b]上单调增，从而F(x)在(a，b)内最多一个零点．
故方程F(x)=0在(a，b)有唯一实根．
2)不妨设F(x)在区间(a，b)内的唯一零点为x₀，以下证明F(x)在(a，b)内仅．在x₀点不可导，其余点都可导．事实上，由前面讨论知
F(x₀)=0，F′(x₀)＞0
令，则

，则