A是3阶矩阵，有特征值λ
1
＝λ
2
＝2，对应两个线性无关的特征向量为ξ
1
，ξ
2
，λ
3
＝－2对应的特征向量是ξ
3
．
问答题
问ξ
1
＋ξ
2
是否是A的特征向量?说明理由；
【正确答案】正确答案：因已知Aξ
1
＝2ξ
1
，Aξ
2
＝2ξ
2
，故A(ξ
1
＋ξ
2
)＝Aξ
1
＋Aξ
2
＝2ξ
1
＋2ξ
2
＝2(ξ
1
＋ξ
2
)，故ξ
1
＋ξ
2
仍是A的对应于λ
1
＝λ
2
＝2的特征向量．
【答案解析】
问答题
ξ
2
＋ξ
3
是否是A的特征向量?说明理由；
【正确答案】正确答案：ξ
2
＋ξ
3
不是A的特征向量．假设是，设其对应的特征值为μ，则有 A(ξ
2
＋ξ
3
)＝μ(ξ
2
＋ξ
3
)， 得2ξ
2
一2ξ
3
一μξ
2
一μξ
3
＝(2一μ)
2
一(2＋μ)ξ
3
＝0 因2一μ和2＋μ不同时为零，故ξ
2
，ξ
3
线性相关，这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛盾，故ξ
2
＋ξ
3
不是A的特征向量．
【答案解析】
问答题
证明：任意3维非零向量β都是A
2
的特征向量，并求对应的特征值．
【正确答案】正确答案：因A有特征值λ
1
＝λ
2
＝2，λ
3
＝一2，故A
2
有特征值μ
1
＝μ
2
＝μ
3
＝4．对应的特征向量仍是ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
，且ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关．故存在可逆矩阵P＝(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)，使得 P
－1
A
2
P＝4E，A
2
＝P(4E)P
－1
＝4E， 从而对任意的β≠0，有A
2
β＝4Eβ＝4β，故知任意非零向量β都是A
2
的对应于λ＝4的特征向量
【答案解析】