解答题
7.设A是3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量，且Aα1=α1一α2+3α3，Aα2=4α1—3α2+5α3，Aα3=0．求矩阵A的特征值和特征向量．
【正确答案】由Aα3=0=0α3，知λ=0是A的特征值，α3是λ=0的特征向量．由已知条件有A(α1，α2，α3)=(α1一α2+3α3，4α1一3α2+5α3，0)，
记P=(α1,α2,α3)，由α1,α2,α3线性无关，故矩阵P可逆，因此有P一1AP=B，其中B=
因此A—B．因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵B的特征多项式
所以矩阵B也即A的特征值为一1，一1，0．对于矩阵B，
所以矩阵B对应于特征值λ=一1的特征向量是β=(一2，1，1)T，若Bβ=λβ，则有(P一1AP)β=λβ，即A(Pβ)=λ(Pβ)，那么矩阵A关于特征值λ=一1的特征向量是
记P=(α1,α2,α3)，由α1,α2,α3线性无关，故矩阵P可逆，因此有P一1AP=B，其中B=
因此A—B．因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵B的特征多项式所以矩阵B也即A的特征值为一1，一1，0．对于矩阵B，所以矩阵B对应于特征值λ=一1的特征向量是β=(一2，1，1)T，若Bβ=λβ，则有(P一1AP)β=λβ，即A(Pβ)=λ(Pβ)，那么矩阵A关于特征值λ=一1的特征向量是【答案解析】