解答题
已知fn(x)满足f'n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)，且
，求函数项级数
，求函数项级数
【正确答案】
【答案解析】[解] 由题设条件知，函数fn(x)满足一阶线性非齐次微分方程
其通解为
由条件
得C=0，所以，
记
，容易求出其收敛域为[-1，1)，且S(0)=0，当x∈(-1，1)时，求导得
于是得
由S(x)=-ln(1-x)在x=-1处的连续性知，上述和函数在x=-1处也成立，于是，当-1≤x＜1时，有
其通解为
由条件
得C=0，所以，记
，容易求出其收敛域为[-1，1)，且S(0)=0，当x∈(-1，1)时，求导得于是得
由S(x)=-ln(1-x)在x=-1处的连续性知，上述和函数在x=-1处也成立，于是，当-1≤x＜1时，有