问答题
设总体X的概率密度为
【正确答案】(Ⅰ)X的数学期望
[*]
根据矩估计法，令
[*]，即[*]
解此方程得θ的矩估计量[*]
(Ⅱ)记X1，X2，…，Xn的值为x1，x2，…，xn，则它的似然函数
[*]
显然L(θ)的最大值只能在0＜x1，x2，…，xn＜1内取到，所以可化简似然函数为
L(θ)=(1+θ)n(x1x2…xn)θ，0＜x1，x2，…，xn＜1．
取对数lnL(θ)=nln(1+θ)+θln(x1，x2，…xn)，则由
[*]
得[*]
所以，θ的最大似然估计量为[*]
[*]
根据矩估计法，令
[*]，即[*]
解此方程得θ的矩估计量[*]
(Ⅱ)记X1，X2，…，Xn的值为x1，x2，…，xn，则它的似然函数
[*]
显然L(θ)的最大值只能在0＜x1，x2，…，xn＜1内取到，所以可化简似然函数为
L(θ)=(1+θ)n(x1x2…xn)θ，0＜x1，x2，…，xn＜1．
取对数lnL(θ)=nln(1+θ)+θln(x1，x2，…xn)，则由
[*]
得[*]
所以，θ的最大似然估计量为[*]
【答案解析】应熟练掌握总体未知参数点估计的两种方法：矩估计法与最大似然估计法.