问答题
设函数f(x)=(x-x
0
)
n
φ(x)(n为任意自然数)，其中函数φ(x)当x=x
0
时连续．
问答题
证明f(x)在点x=x
0
处可导
【正确答案】
【答案解析】由于
问答题
若φ(x)≠0，问函数f(x)在x=x
0
处有无极值，为什么?
【正确答案】
【答案解析】由于φ(x)在x=x
0
处连续，且φ(x
0
)≠0，所以φ(x)在点x
0
的充分小的邻域(x
0
-δ，x
0
+δ)内与φ(x
0
)同号，于是f(x)的符号只与n的奇偶性有关．
①若n为奇数，则经过x 0 时，f(x)的值变号，所以在x=x 0 处没有极值；
②若n为偶数，则(x-x 0 ) n ＞0(x≠x 0 )．
当φ(x 0 )＞0，且0＜|x-x 0 |＜δ时，f(x)=(x-x 0 ) n φ(x)＞0=f(x 0 )，所以在x=x 0 处有极小值f(x 0 )．
当φ(x 0 )＜0，且0＜|x-x 0 |＜δ时，f(x)=(x-x 0 ) n φ(x)＜0=f(x 0 )，所以在x=x 0 处有极大值f(x 0 )． [解析] 用导数定义证明(1)；用极值的定义证明(2)．
①若n为奇数，则经过x 0 时，f(x)的值变号，所以在x=x 0 处没有极值；
②若n为偶数，则(x-x 0 ) n ＞0(x≠x 0 )．
当φ(x 0 )＞0，且0＜|x-x 0 |＜δ时，f(x)=(x-x 0 ) n φ(x)＞0=f(x 0 )，所以在x=x 0 处有极小值f(x 0 )．
当φ(x 0 )＜0，且0＜|x-x 0 |＜δ时，f(x)=(x-x 0 ) n φ(x)＜0=f(x 0 )，所以在x=x 0 处有极大值f(x 0 )． [解析] 用导数定义证明(1)；用极值的定义证明(2)．