问答题
设α
1
，α
2
，…，α
n
是n个n维列向量，已知齐次线性方程组
α
1
x
1
+α
2
x
2
+…+α
n
x
n
=0
只有零解，问齐次线性方程组
(α
1
+α
2
)x
1
+(α
2
+α
3
)x
2
+…+(α
n-1
+α
n
)x
n-1
+(α
n
+α
1
)x
n
=0
是否有非零解?若没有，说明理由；若有，求出其通解．
【正确答案】正确答案：齐次线性方程组 α
1
x
1
+α
2
x
2
+…+α
n
x
n
=0 只有零解，故其系数矩阵(记为A)的秩r(A)=r(α
1
，α
2
，…，α
n
)=n，则矩阵A是可逆方阵． 齐次线性方程组 (α
1
+α
2
)x
1
+(α
2
+α
3
)x
2
+…+(α
n-1
+α
n
)x
n-1
+(α
n
+α
1
)x
n
=0 (*) 的系数矩阵(记为B)和A有如下关系： [α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，…，α
n-1
+α
n
，α
n
+α
1
]=[α
1
，α
2
，…，α
n
]
记为B=AC．因A可逆，故有r(B)=r(C)，而
当n=2k+1时，|C|=2≠0，故r(B)=r(C)=n，方程组(*)只有零解． 当n=2k时，|C|=0，故r(B)=r(C)＜n，方程组(*)有非零解． 当n=2k时，B=AC，A可逆．故Bx=0和Cx=0是同解方程组，故只需求解齐次线性方程组 Cx=0即可． 对C作初等行变换，将第i行的一1倍加到第i+1行(i=1，2，…，n一1)．
记为B=AC．因A可逆，故有r(B)=r(C)，而
当n=2k+1时，|C|=2≠0，故r(B)=r(C)=n，方程组(*)只有零解． 当n=2k时，|C|=0，故r(B)=r(C)＜n，方程组(*)有非零解． 当n=2k时，B=AC，A可逆．故Bx=0和Cx=0是同解方程组，故只需求解齐次线性方程组 Cx=0即可． 对C作初等行变换，将第i行的一1倍加到第i+1行(i=1，2，…，n一1)．
【答案解析】