问答题
设函数
具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分
具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分
问答题
证明：对右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有
【正确答案】证 如图，设C是半平面x＞0内的任一分段光滑简单闭曲线，在C上任意取定两点M，N，作围绕原点的闭曲线[*]，同时得到另一围绕原点的闭曲线[*]．
[*]
根据题设可知
[*]
根据第二类曲线积分的性质，利用上式可得
[*]
[*]
【答案解析】
问答题
求函数
【正确答案】解 设[*]，P，Q在单连通区域x＞0内具有一阶连续偏导数．曲线积分[*]在该区域内与路径无关，故当x＞0时，总有[*]．
[*]
比较①、②两式的右端，得
[*]
由③得[*]=-y2+c，将[*]代入④得2y2-4cy2=2y5，所以c=0，从而[*]=-y2．
[*]
比较①、②两式的右端，得
[*]
由③得[*]=-y2+c，将[*]代入④得2y2-4cy2=2y5，所以c=0，从而[*]=-y2．
【答案解析】本题主要考查第Ⅱ型线积分的计算及线积分与路径无关的条件．
问答题
设区域D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0)，计算二重积分
【正确答案】解1 [*]
所以I=I1+I1=[*]．
解2 I1同上．
由于D关于x轴对称，且函数[*]是y的奇函数，所以
[*]．
故I=I1+I1=[*]．
所以I=I1+I1=[*]．
解2 I1同上．
由于D关于x轴对称，且函数[*]是y的奇函数，所以
[*]．
故I=I1+I1=[*]．
【答案解析】本题主要考查二重积分的计算．
问答题
设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都有f(tx，ty)=t-2f(x，y)．证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭线L，都有
【正确答案】由于本题要证明平面闭曲线上第二型线积分[*]，因此，
应考虑格林公式．
证 由格林公式知，对D内的任意有向简单闭曲线L，
[*]
的充分必要条件是：对任意(x，y)∈D，有
[*]
由于对任意的(x，y)∈D及t＞0都有
f(tx，ty)=t-2f(x，y)
两边对t求导，得
[*]
令t=1，得
[*]
即 [*]
所以 [*]
应考虑格林公式．
证 由格林公式知，对D内的任意有向简单闭曲线L，
[*]
的充分必要条件是：对任意(x，y)∈D，有
[*]
由于对任意的(x，y)∈D及t＞0都有
f(tx，ty)=t-2f(x，y)
两边对t求导，得
[*]
令t=1，得
[*]
即 [*]
所以 [*]
【答案解析】本题主要考查格林公式和多元函数微分法．
问答题
计算曲面积分
其中∑为曲面z=1-x2-
其中∑为曲面z=1-x2-
【正确答案】本题是一个非封闭曲面上第二型面积分的计算问题，显然直接法不方便，应补面用高斯
公式．
解 补xOy面上的平面[*]，其法线方向与z轴负方向相同，∑与S1围成的区域记为Ω，
则
[*](先二后一)
公式．
解 补xOy面上的平面[*]，其法线方向与z轴负方向相同，∑与S1围成的区域记为Ω，
则
[*](先二后一)
【答案解析】本题主要考查计算第二型面积分中一种常用的方法：补面用高斯公式．本题中出现的三重积分[*]用直角坐标下先二后一的方法计算比较方便．
问答题
计算曲线积分
【正确答案】解法1 [*]
解法2 取L1为x轴上从点(π，0)到点(0，0)的一段，D是由L与L1围成的区域．
[*]
解法2 取L1为x轴上从点(π，0)到点(0，0)的一段，D是由L与L1围成的区域．
[*]
【答案解析】本题主要考查计算平面二型线积分的方法．
问答题
计算曲面积分
【正确答案】解 设∑1为单位球面x2+y2+z2=1的外侧，则
[*]
根据高斯公式
[*]
所以I=4π．
[*]
根据高斯公式
[*]
所以I=4π．
【答案解析】本题主要考查高斯公式及第二型面积分的计算．
问答题
设P为椭球面S：x2+y2+z2-yz=1上的动点，若S在点P处的切平面与xOy面垂直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分
【正确答案】解 椭球面S上点P(x，y，z)处的法向量是
n={2x，2y-z，2z-y)
点P处的切平面与xOy面垂直的充要条件是
n·k=0(k={0，0，1})
即2z-y=0．所以点P的轨迹C的方程为[*]，即
[*]
取D={(x，y)｜x2+[*]≤1}，记∑的方程为z=z(x，y)，(x，y)∈D，由于
[*]
所以 [*]
n={2x，2y-z，2z-y)
点P处的切平面与xOy面垂直的充要条件是
n·k=0(k={0，0，1})
即2z-y=0．所以点P的轨迹C的方程为[*]，即
[*]
取D={(x，y)｜x2+[*]≤1}，记∑的方程为z=z(x，y)，(x，y)∈D，由于
[*]
所以 [*]
【答案解析】本题主要考查曲面的切平面和第一型面积分计算.
问答题
已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)：0，
，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1)，计算二重积分，
，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1)，计算二重积分，
【正确答案】解1 因为f(1，y)=0，f(x，1)=0，所以[*]．
从而
[*]
解2 [*]
这里用到了条件f(1，y)=0，f(x，1)=0，并由此有[*]．
【答案解析】本题主要考查二重积分的计算和偏导数的概念．
问答题
已知L是第一象限中从点(0，0)沿圆周x2+y2=2x到点(2，0)，再沿圆周x2+y2=4到点(0，2)的曲线段．计算曲线积分
【正确答案】解 取L1为有向线段．x=0，y从2到0；由L与L1围成的平面区域记为D．根据格林公式，得
[*]
[*]
【答案解析】本题主要考查第二类平面线积分的计算方法．本题所用方法是一种最常用的方法，补线用格林公式