解答题
21.已知矩阵A＝
和B＝
和B＝
【正确答案】因为A，B相似，所以｜A｜＝｜B｜，且tr(A)＝tr(B)，
即
解得
故A的两个特征值为－1，－1．
但(－E－A)＝
因此R(－E－A)＝1，所以不能对角化．
设P＝
，满足P－1AP＝B，即有AP＝PB，从而
整理得
解得基础解系为
所以
，k1，k2为非零常数．
令k1＝k2＝1／2，则
．所以可令P＝
，则有P－1AP＝B．
即
解得故A的两个特征值为－1，－1．
但(－E－A)＝
因此R(－E－A)＝1，所以不能对角化．
设P＝
，满足P－1AP＝B，即有AP＝PB，从而整理得
解得基础解系为
所以
，k1，k2为非零常数．令k1＝k2＝1／2，则
．所以可令P＝，则有P－1AP＝B．【答案解析】【思路探索】经验证，A不能相似对角化，故使用待定系数法求P．
【错例分析】本题最常见错误即认为P－1AP就是将A相似对角化．事实上，由｜λE－A｜＝0解得λ＝－1是A的二重特征值，但R(－E－A)＝R
【错例分析】本题最常见错误即认为P－1AP就是将A相似对角化．事实上，由｜λE－A｜＝0解得λ＝－1是A的二重特征值，但R(－E－A)＝R