问答题
设函数f(x)在[a，b]上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，∫
a
b
f(x)dx=0．
证明：(1)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=f(ξ)；
(2)在(a，b)内至少存在一点η，且η≠ξ，使得f"(η)=f(η)．
【正确答案】正确答案：(1)由积分中值定理知，至少存在一点c∈(a，b)，使得
设G(x)=e
-x
f(x)，则G(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且G(a)=G(b)=G(c)=0， G'(x)=e
-x
f’(x)一e
-x
f(x)=e
-x
[f'(x)一f(x)]．由罗尔定理知，分别存在ξ
1
∈(a，c)和ξ
2
∈(c，b)， 使得G'(ξ
1
)=G’(ξ
2
)=0，从而f'(ξ
1
)=f(ξ
1
)，f'(ξ
2
)=f(ξ
2
)． (2)设F(x)=e
x
[f'(x)一f(x)]，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(ξ
1
)=F(ξ
2
)=0， 则 F'(x)=e
x
[f"(x)一f'(x)]+e
x
[f'(x)一f(x)]=e
x
[f"(x)一f(x)]． 对F(x)在区间[ξ
1
，ξ
2
]上应用罗尔定理，即存在η∈(ξ
1
，ξ
2
)
设G(x)=e
-x
f(x)，则G(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且G(a)=G(b)=G(c)=0， G'(x)=e
-x
f’(x)一e
-x
f(x)=e
-x
[f'(x)一f(x)]．由罗尔定理知，分别存在ξ
1
∈(a，c)和ξ
2
∈(c，b)， 使得G'(ξ
1
)=G’(ξ
2
)=0，从而f'(ξ
1
)=f(ξ
1
)，f'(ξ
2
)=f(ξ
2
)． (2)设F(x)=e
x
[f'(x)一f(x)]，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(ξ
1
)=F(ξ
2
)=0， 则 F'(x)=e
x
[f"(x)一f'(x)]+e
x
[f'(x)一f(x)]=e
x
[f"(x)一f(x)]． 对F(x)在区间[ξ
1
，ξ
2
]上应用罗尔定理，即存在η∈(ξ
1
，ξ
2
)
【答案解析】