【正确答案】
B
【答案解析】[解析] 由于(A)、(C)两个命题互为逆否命题,一个命题与它的逆否命题要正确就全正确,要错误就全错误.按本题的要求仅有一个命题是正确的,所以(A)、(C)均谬误.其实亦可考查下面的例子:
α1=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(0,0,0)与
β1=(1,0,0,0),β2=(0,1,0,0),β3=(0,0,0,1).
显然r(α1,α2,α3)=2,r(β1,β3,β3)=3.即当α1,α3,α3线性相关时,其延伸组β1,β2,β3可以线性无关.所以(A)、(C)错误.
如果β1,β2,β3线性相关,即有不全为0的x1,x2,x3使x1β1+x2β2+x3β3=0,即
[*]
有非零解,那么齐次方程组
[*]
必有非零解, 即α1,α2,α3线性相关.所以(D)错误.
[评注] 要会用定理若(Ⅰ)无关,则(Ⅱ)无关,即若向量组α1,α2,…,αs线性无关,则其延伸组β1,β2,…,βs必线性无关,