选择a，b，使Pdx+Qdy在区域D={(x，y)|x
2
+y
2
≠0}内为某函数u(x，y)的全微分，其中
【正确答案】正确答案：先确定a，b，使
，(x，y)∈D．
=1／(x
2
+y
2
)
4
[(2y+2x)(x
2
+y
2
)
2
－2(x
2
+y
2
)．2y(y
2
+2xy+ax
2
)] =2／(x
2
+y
2
)
2
[(x+y)(x
2
+y
2
)－2y(y
2
+2xy+ax
2
)]，
=－1／(x
2
+y
2
)
4
[(2x+2y)(x
2
+y
2
)
2
－2(x
2
+y
2
)2x(x
2
+2xy+by
2
)] =2／(x
2
+y
2
)
3
[－(x+y)(x
2
+y
2
)+2x(x
2
+2xy+by
2
)]，
(x+y)(x
2
+y
2
)－2y(y
2
+2xy+ax
2
) =－(x+y)(x
2
+y
2
)+2x(x
2
+2xy+by
2
)
2(x
2
+xy
2
+yx
2
+y
2
)－2y
3
－4xy
2
－2ax
2
y=2x
3
+4x
2
y+2bxy
2
－2xy
2
+2(1－a)x
2
y=4x
2
y+2bxy
2
－2(b+1)xy
2
－2(a+1)x
2
y=0
a=－1，b=－1． 此时
因D不是单连通的，
在D成立不足以保证Pdx+Qdyヨ原函数． 进一步讨论是否可直接求出原函数．取特殊路径如图10．11及 u(x，y)=∫
0
x
P(x，1)dx+∫
1
y
Q(x，y)dy (第二个积分中x为常量)，将
因此u=
，(x，y)∈D．
=1／(x
2
+y
2
)
4
[(2y+2x)(x
2
+y
2
)
2
－2(x
2
+y
2
)．2y(y
2
+2xy+ax
2
)] =2／(x
2
+y
2
)
2
[(x+y)(x
2
+y
2
)－2y(y
2
+2xy+ax
2
)]，
=－1／(x
2
+y
2
)
4
[(2x+2y)(x
2
+y
2
)
2
－2(x
2
+y
2
)2x(x
2
+2xy+by
2
)] =2／(x
2
+y
2
)
3
[－(x+y)(x
2
+y
2
)+2x(x
2
+2xy+by
2
)]，
(x+y)(x
2
+y
2
)－2y(y
2
+2xy+ax
2
) =－(x+y)(x
2
+y
2
)+2x(x
2
+2xy+by
2
)
2(x
2
+xy
2
+yx
2
+y
2
)－2y
3
－4xy
2
－2ax
2
y=2x
3
+4x
2
y+2bxy
2
－2xy
2
+2(1－a)x
2
y=4x
2
y+2bxy
2
－2(b+1)xy
2
－2(a+1)x
2
y=0
a=－1，b=－1． 此时
因D不是单连通的，
在D成立不足以保证Pdx+Qdyヨ原函数． 进一步讨论是否可直接求出原函数．取特殊路径如图10．11及 u(x，y)=∫
因此u=
【答案解析】