已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，
f(x，y)dxdy=a，
其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=
f(x，y)dxdy=a，
其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=
【正确答案】正确答案：将二重积分
xyf
xy
(x，y)dxdy，转化为累次积分可得
xyf
xy
(x，y)dxdy=∫
0
x
dy∫
0
x
xyf
xy
(x，y)dx， 首先考虑∫
0
x
xyf
xy
(x，y)dx，注意这里是把变量y看作常数，故有 ∫
0
x
xyf
xy
(x，y)dx=y∫
0
x
xdf
y
(x，y) =xyf
y
(x，y)｜
0
x
一∫
0
x
yf
y
(x，y)dx =yf
y
(1，y)一∫
0
x
yf
y
(x，y)dx。 由f(1，y)=f(x，1)=0易知f
y
(1，y)=A(x，1)=0．故 ∫
0
x
xyf
xy
(x，y)dx=一∫
0
x
yf
y
(x，y)dx， 所以
xyf
xy
(x，y)dxdy=∫
0
x
dy∫
0
x
xyf
xy
(x，y)dx=一∫
0
x
dy∫
0
x
yf
y
(x，y)dx， 对该积分交换积分次序可得 一∫
0
x
dy∫
0
x
yf
y
(x，y)dx=一∫
0
x
dx∫
0
x
yf
y
(x，y)dy。 再考虑积分∫
0
x
yf
y
(x，y)dy，注意这里是把变量x看作常数，故有 ∫
0
x
yf
y
(x，y)dy=∫
0
x
ydf(x，y)=yf(x，y)｜
0
x
一∫
0
x
f(x，y)dy=一∫
0
x
f(x，y)dy， 因此
xyf
xy
(x，y)dxdy=一∫
0
x
dx∫
0
x
yf
y
(x，y)dy=∫
0
x
dx∫
0
x
f(x，y)dy=
xyf
xy
(x，y)dxdy，转化为累次积分可得
xyf
xy
(x，y)dxdy=∫
0
x
dy∫
0
x
xyf
xy
(x，y)dx， 首先考虑∫
0
x
xyf
xy
(x，y)dx，注意这里是把变量y看作常数，故有 ∫
0
x
xyf
xy
(x，y)dx=y∫
0
x
xdf
y
(x，y) =xyf
y
(x，y)｜
0
x
一∫
0
x
yf
y
(x，y)dx =yf
y
(1，y)一∫
0
x
yf
y
(x，y)dx。 由f(1，y)=f(x，1)=0易知f
y
(1，y)=A(x，1)=0．故 ∫
0
x
xyf
xy
(x，y)dx=一∫
0
x
yf
y
(x，y)dx， 所以
xyf
xy
(x，y)dxdy=∫
0
x
dy∫
0
x
xyf
xy
(x，y)dx=一∫
0
x
dy∫
0
x
yf
y
(x，y)dx， 对该积分交换积分次序可得 一∫
0
x
dy∫
0
x
yf
y
(x，y)dx=一∫
0
x
dx∫
0
x
yf
y
(x，y)dy。 再考虑积分∫
0
x
yf
y
(x，y)dy，注意这里是把变量x看作常数，故有 ∫
0
x
yf
y
(x，y)dy=∫
0
x
ydf(x，y)=yf(x，y)｜
0
x
一∫
0
x
f(x，y)dy=一∫
0
x
f(x，y)dy， 因此
xyf
xy
(x，y)dxdy=一∫
0
x
dx∫
0
x
yf
y
(x，y)dy=∫
0
x
dx∫
0
x
f(x，y)dy=
【答案解析】