解答题
14.已知α1=(1，1，0，2)T，α2=(-1，1，2，4)T，α3=(2，3，a，7)T，α4=(-1，5，-3，a+6)T，β=(1，0，2，6)T，问a，b取何值时，(Ⅰ)β不能由α1，α2，α3，α4线性表示?(Ⅱ)β能用α1，α2，α3，α4线性表出，且表示法唯一；(Ⅲ)β能用α1，α2，α3，α4线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式．
【正确答案】设x1α1+x2α2+x3β3+x4α4=β，对增广矩阵(α1，α2，α3，α4：β)作初等行变换，有
(Ⅰ)当a=1，b≠2或a=10，b≠-1时，方程组均无解．所以β不能由α1，α2，α3，α4线性表出．
(Ⅱ)当a≠1且a≠10时，
方程组均有唯一解．所以β能用α1，α2，α3，α4线性表示且表示法唯.
(Ⅲ)方程组在两种情况下有无穷多解，即(1)当a=10，b=-1时，方程组有无穷多解：
x4=t，x3=t+
，x2=
，x1=
即β=
α3+tα4.
(2)当a=1，b=2时，方程组有无穷多解：x4=
，x2=t，x3=1-2t，x1=5t-
，即β=
α1+tα2+(1-2t)α3-
(Ⅰ)当a=1，b≠2或a=10，b≠-1时，方程组均无解．所以β不能由α1，α2，α3，α4线性表出．
(Ⅱ)当a≠1且a≠10时，
方程组均有唯一解．所以β能用α1，α2，α3，α4线性表示且表示法唯.(Ⅲ)方程组在两种情况下有无穷多解，即(1)当a=10，b=-1时，方程组有无穷多解：
x4=t，x3=t+
，x2=，x1=即β=
α3+tα4.(2)当a=1，b=2时，方程组有无穷多解：x4=
，x2=t，x3=1-2t，x1=5t-，即β=α1+tα2+(1-2t)α3-【答案解析】