解答题
设函数f(x)在[0，+∞)有连续导数且满足f(0)=0，f"(x)＜0在(0，+∞)成立，求证：对任何x1＞x2＞0有
x1f(x2)＞x2f(x1)．
x1f(x2)＞x2f(x1)．
【正确答案】
【答案解析】[证明] 令
，于是
g'(x)与h(x)
xf'(x)=f(x)同号．由h(x)在[0，+∞)连续，
h'(x)=xf"(x)＜0(
x＞0)
h(x)在[0，+∞)单调下降，h(x)＜h(0)=0(
x＞0)，即g'(x)＜0当x＞0时成立．从而对
，于是g'(x)与h(x)
xf'(x)=f(x)同号．由h(x)在[0，+∞)连续，h'(x)=xf"(x)＜0(
x＞0)h(x)在[0，+∞)单调下降，h(x)＜h(0)=0(x＞0)，即g'(x)＜0当x＞0时成立．从而对