问答题
设A为三阶方阵，a为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα-2A2α．
证明：(Ⅰ) 矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆；
(Ⅱ) BTB是正定矩阵．
证明：(Ⅰ) 矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆；
(Ⅱ) BTB是正定矩阵．
【正确答案】[证明] (Ⅰ)由于A3α=3Aα-2A2α，故
A4α=3A2α-2A3α=3A2α-2(3Aα-2A2α)=7A2α-6Aα．
若k1α+k2Aα+k3A4α=0，即k1α+k2Aα+k3(7A2α-6Aα)=0，
亦即k1α+(k2-6k3)Aα+7k3A2α=0，因为α，Aα，A2α线性无关，故
所以，α，Aα，A4α线性无关，因而矩阵B可逆．
(Ⅱ)因为(BTB)T=BT(BT)T=BTB，故BTB是对称矩阵．又
x≠0，由于矩阵B可逆，恒有Bx≠0，那么恒有xT(BTB)x=(Bx)T(Bx)＞0，故二次型xT(BTB)x是正定二次型，从而矩阵BTB是正定矩阵．
A4α=3A2α-2A3α=3A2α-2(3Aα-2A2α)=7A2α-6Aα．
若k1α+k2Aα+k3A4α=0，即k1α+k2Aα+k3(7A2α-6Aα)=0，
亦即k1α+(k2-6k3)Aα+7k3A2α=0，因为α，Aα，A2α线性无关，故
所以，α，Aα，A4α线性无关，因而矩阵B可逆．
(Ⅱ)因为(BTB)T=BT(BT)T=BTB，故BTB是对称矩阵．又
x≠0，由于矩阵B可逆，恒有Bx≠0，那么恒有xT(BTB)x=(Bx)T(Bx)＞0，故二次型xT(BTB)x是正定二次型，从而矩阵BTB是正定矩阵．【答案解析】