设A，B为同阶方阵。(Ⅰ)若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等；(Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立；(Ⅲ)当A，B均为实对称矩阵时，证明(Ⅰ)的逆命题成立。
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P
-1
AP=B，则 ｜λE-B｜=｜λE-P
-1
AP｜=｜P
-1
λEP-P
-1
AP｜ =｜P
-1
(λE-A)P｜=｜P
-1
｜｜λE-A｜｜P｜=｜λE-A｜。 所以A、B的特征多项式相等。 (Ⅱ)令A=
，那么｜λE-A｜=λ
2
=｜λE-B｜。但是A，B不相似。否则，存在可逆矩阵P，使P
-1
AP=B=O，从而A=POP
-1
=O与已知矛盾。也可从r(A)=1，r(B)=0，知A与B不相似。 (Ⅲ)由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵，若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ
1
，…，λ
n
，则有
所以存在可逆矩阵P，Q，使P
-1
AP=
，那么｜λE-A｜=λ
2
=｜λE-B｜。但是A，B不相似。否则，存在可逆矩阵P，使P
-1
AP=B=O，从而A=POP
-1
=O与已知矛盾。也可从r(A)=1，r(B)=0，知A与B不相似。 (Ⅲ)由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵，若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ
1
，…，λ
n
，则有
所以存在可逆矩阵P，Q，使P
-1
AP=
【答案解析】