单选题
求函数M=xy+2yz在约束条件x
2
+y
2
+z
2
=10下的最大值和最小值．
【正确答案】正确答案：构造拉格朗日函数L(x，y，z，λ)=xy+2yz+λ(x
2
+y
2
+z
2
－10)，令
当λ≠0时，①，③式联立，消去y，λ得z=2x．将z=2x代入②式，整理后与①式联立，消去λ，得y
2
=5x
2
，将z=2x，y
2
=5x
2
代入④式可得四个可能极值点
当λ=0时，解得E(2
)． 由于在点A与点B处，M=5
；在点C与点D处，M=－5
；在点E与点F处，M=0． 又因为该问题必存在最值，并且最值不可能在其它点处，所以 M
max
=5
，M
min
=－5
当λ≠0时，①，③式联立，消去y，λ得z=2x．将z=2x代入②式，整理后与①式联立，消去λ，得y
2
=5x
2
，将z=2x，y
2
=5x
2
代入④式可得四个可能极值点
当λ=0时，解得E(2
)． 由于在点A与点B处，M=5
；在点C与点D处，M=－5
；在点E与点F处，M=0． 又因为该问题必存在最值，并且最值不可能在其它点处，所以 M
max
=5
，M
min
=－5
【答案解析】