【答案解析】(Ⅰ)[证] 由f_n(0)=-1＜0，f_n(1)=n-1＞0，n=2，3，…，所以f_n(x)=0在区间(0，1)内存在实根，记为x_n．
   以下证在区间(0，+∞)内至多存在一个实根．事实上，
   f'_n(x)=1+2x+3x²+…+nx^n-1＞0，x∈(0，+∞)．
   所以在区间(0，+∞)内f_n(x)=0至多存在一个实根．结合以上讨论至少一个至多一个，所以f_n(x)=0在区间(0，+∞)内存在唯一的实根，且在区间(0，1)内．记此根为x_n(n=2，3，…)．
   (Ⅱ)[解] 欲求先证其存在，为此，证{x_n}单调减少．
   
   由于[  ]内为正，等号左边为0，所以x_n-x_n+1＞0(n=2，3，…)，不然上面等号右边为负，与左边为零矛盾于是知{x_n}随n增加而严格单调减少，且有下界(因x_n＞0)．所以
   
   另一方面，由x_n＜x₂＜1(n＞2)，所以
   但0＜x₂＜1，由夹逼定理知
   由
   
   两边取极限，得