解答题
7.f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f’(0)＝0．证明：存在ξ∈(－1，1)，使得f’”(ξ)＝3．
【正确答案】由泰勒公式得
f(－1)＝f(0)＋f’(0)(－1－0)＋
(－1－0)2＋
(－1－0)3，ξ1∈(－1，0)，
f(1)＝f(0)＋f’(0)(1－0)＋
(1－0)2＋
(1－0)3，ξ2∈(0，1)，
即f(0)＋
＝0，f(0)＋
＝1，
两式相减得f’”(ξ1)＋f’”(ξ2)＝6．
因为f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，所以f’”(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定
理，f’”∥(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f’”(ξ1)＋f’”(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．
由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]
f(－1)＝f(0)＋f’(0)(－1－0)＋
(－1－0)2＋(－1－0)3，ξ1∈(－1，0)，f(1)＝f(0)＋f’(0)(1－0)＋
(1－0)2＋(1－0)3，ξ2∈(0，1)，即f(0)＋
＝0，f(0)＋＝1，两式相减得f’”(ξ1)＋f’”(ξ2)＝6．
因为f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，所以f’”(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定
理，f’”∥(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f’”(ξ1)＋f’”(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．
由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]
【答案解析】