解答题
[2005年] 已知二次型
f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．
f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．
问答题
8.求a的值；
【正确答案】因为二次型f的秩为2，其矩阵A的秩也为2，有
【答案解析】
问答题
9.求正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化成标准形；
【正确答案】由
得到其特征方程为｜λE—A｜=
=λ(λ一2)2=0，因而其特征值为λ1=λ2=2，λ3=0．解(λE-A)X=0．由
λ1E—A=
知，属于λ1=λ2=2的特征向量为α1=[-1，1，0]T，α2=[0，0，1]T．解(λ3E—A)X=0．由
λ3E—A=
知，属于λ3=0的特征向量为α3=[1，一1，0]T．由于α1，α2已正交，又α3必与α1，α2正交，故
α1，α2，α3已是正交向量组，只需单位化，得到
η1=
，η2=[0，0，1]T， η3=
得到其特征方程为｜λE—A｜==λ(λ一2)2=0，因而其特征值为λ1=λ2=2，λ3=0．解(λE-A)X=0．由λ1E—A=
知，属于λ1=λ2=2的特征向量为α1=[-1，1，0]T，α2=[0，0，1]T．解(λ3E—A)X=0．由
λ3E—A=
知，属于λ3=0的特征向量为α3=[1，一1，0]T．由于α1，α2已正交，又α3必与α1，α2正交，故
α1，α2，α3已是正交向量组，只需单位化，得到
η1=
，η2=[0，0，1]T， η3=【答案解析】
问答题
10.求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
【正确答案】用配方法，易得到f(x1，x2，x3)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x1)2+2x32=0，
即
即
【答案解析】