问答题
(本题满分10分)
某人接连不断、独立地对同一目标射击，直到击中为止，以X表示命中时已射击的次数．假设他共进行了10轮这样的射击，各轮射击的次数分别为1，2，3，4，4，5，3，3，2，3，试求此人命中率p的矩估计和最大似然估计．
某人接连不断、独立地对同一目标射击，直到击中为止，以X表示命中时已射击的次数．假设他共进行了10轮这样的射击，各轮射击的次数分别为1，2，3，4，4，5，3，3，2，3，试求此人命中率p的矩估计和最大似然估计．
【正确答案】
【答案解析】解 由题设条件可得X的分布律为
P{X=k}=(1-p) k-1 p， k=1，2，3，…．
①求矩估计．因
令EX=
，即
，得
为p的矩估计值．
②求最大似然估计．似然函数
L(p)=P{X 1 =1，X 2 =2，X 3 =3，…，X 10 =3)=p 10 (1-p) 20 ，
于是 ln L(p)=10ln p+20ln(1-p)．
令
得
是户的最大似然估计值．
注 上述求解过程中求数学期望EX时用到了幂级数的和函数，即由
z∈(-1，1)，得
令x=1-p,得
P{X=k}=(1-p) k-1 p， k=1，2，3，…．
①求矩估计．因
令EX=
，即
，得
为p的矩估计值．
②求最大似然估计．似然函数
L(p)=P{X 1 =1，X 2 =2，X 3 =3，…，X 10 =3)=p 10 (1-p) 20 ，
于是 ln L(p)=10ln p+20ln(1-p)．
令
得
是户的最大似然估计值．
注 上述求解过程中求数学期望EX时用到了幂级数的和函数，即由
z∈(-1，1)，得
令x=1-p,得