问答题
已知线性方程组
【正确答案】解一 
(1)当a=1，b=3时，r(A)=2=r(
)，方程组有解．
(2)当a=1，b=3时，对变换矩阵B1进一步用初等行变换将其化为含最高阶单位矩阵(2阶单位矩阵)的矩阵，再用基础解系和特解的简便求法即可写出其基础解系和特解，从而写出其全部解：
，⑤
则其基础解系含3个解向量：
α1=[1，-2，1，0，0]T，
α2=[1，-2，0，1，0]T，
α3=[5，-6，0，0，1]T，
其一个特解η=[-2，3，0，0，0]T．
(3)所求的全部解为
X=η+k1α1+k2α2+k3α3，
其中k1，k2，k3为任意常数．
解二 因该方程组的参数仅出现在方程右端的常数项，可先用观察法求出方程
组有解的参数取值．观察左边的各个方程，有下述关系：
因此要使方程组有解，其右端也应有相同关系：
2a+0=2，3a-0=b
解之得a=1，b=3．下同解一．
解三 用高斯消元法求解．由式⑤中矩阵B2得到同解的齐次方程组为
(1)当a=1，b=3时，r(A)=2=r(
)，方程组有解．(2)当a=1，b=3时，对变换矩阵B1进一步用初等行变换将其化为含最高阶单位矩阵(2阶单位矩阵)的矩阵，再用基础解系和特解的简便求法即可写出其基础解系和特解，从而写出其全部解：
，⑤则其基础解系含3个解向量：
α1=[1，-2，1，0，0]T，
α2=[1，-2，0，1，0]T，
α3=[5，-6，0，0，1]T，
其一个特解η=[-2，3，0，0，0]T．
(3)所求的全部解为
X=η+k1α1+k2α2+k3α3，
其中k1，k2，k3为任意常数．
解二 因该方程组的参数仅出现在方程右端的常数项，可先用观察法求出方程
组有解的参数取值．观察左边的各个方程，有下述关系：
因此要使方程组有解，其右端也应有相同关系：
2a+0=2，3a-0=b
解之得a=1，b=3．下同解一．
解三 用高斯消元法求解．由式⑤中矩阵B2得到同解的齐次方程组为
【答案解析】[解析] 利用有解的充要条件
r(A)=r(
)=r(A
b)求a，b．A与
分别为上述方程组的系数矩阵与增广矩阵，可利用基础解系和特解的简便求法求解(参阅<考研数学三常考题型解题方法技巧归纳(第二版)》P297)：
设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，其中A为m×n矩阵．设
秩(A)=
=r，
对增广矩阵
用初等行变换，将其化为
，
其中A1是将A化为含r阶(最高阶)的单位矩阵的矩阵．如果这r阶单位矩阵在A1的第j1，j2，…，jr列，则基础解系的n-r个解向量α1，α2，…，αn-r的第j1，j2，…，jr个分量依次是A1中除r阶单位矩阵所在的r列以外的其余n-r列的前r个分量反号，而α1，α2，…，αn-r的其余n-r个分量依次组成n-r阶单位矩阵．
而特解η的第j1，j2，…，jr个分量依次为
r(A)=r(
)=r(Ab)求a，b．A与分别为上述方程组的系数矩阵与增广矩阵，可利用基础解系和特解的简便求法求解(参阅<考研数学三常考题型解题方法技巧归纳(第二版)》P297)：设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，其中A为m×n矩阵．设
秩(A)=
=r，对增广矩阵
用初等行变换，将其化为，其中A1是将A化为含r阶(最高阶)的单位矩阵的矩阵．如果这r阶单位矩阵在A1的第j1，j2，…，jr列，则基础解系的n-r个解向量α1，α2，…，αn-r的第j1，j2，…，jr个分量依次是A1中除r阶单位矩阵所在的r列以外的其余n-r列的前r个分量反号，而α1，α2，…，αn-r的其余n-r个分量依次组成n-r阶单位矩阵．
而特解η的第j1，j2，…，jr个分量依次为