问答题
已知4维向量α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性相关，而α
2
，α
3
，α
4
，α
5
线性无关，
问答题
证明α
1
可由α
2
，α
3
，α
4
线性表出；
【正确答案】
【答案解析】[证明] 由α
2
，α
3
，α
4
，α
5
线性无关，可知α
2
，α
3
，α
4
线性无关，又因α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性相关，所以α
1
可由α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性表出．
或者，由α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性相关知有不全为0的k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 ，使
k 1 α 1 +k 2 α 2 +k 3 α 3 +k 4 α 4 =0，
那么必有k 1 ≠0(否则有k 2 ，k 3 ，k 4 不全为0而k 2 α 2 +k 3 α 3 +k 4 α 4 =0，于是α 2 ，α 3 ，α 4 线性相关，这与α 2 ，α 3 ，α 4 ，α 5 线性无关相矛盾)．从而
或者，由α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性相关知有不全为0的k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 ，使
k 1 α 1 +k 2 α 2 +k 3 α 3 +k 4 α 4 =0，
那么必有k 1 ≠0(否则有k 2 ，k 3 ，k 4 不全为0而k 2 α 2 +k 3 α 3 +k 4 α 4 =0，于是α 2 ，α 3 ，α 4 线性相关，这与α 2 ，α 3 ，α 4 ，α 5 线性无关相矛盾)．从而
问答题
证明α
5
不能由α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性表出；
【正确答案】
【答案解析】[证明] 如果α
5
=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
+k
4
α
4
，由第一小题可设α
1
=l
2
α
2
+l
3
α
3
+l
4
α
4
，那么
α 5 =(k 1 l 2 +k 2 )α 2 +(k 1 l 3 +k 3 )α 3 +(k 1 l 4 +k 4 )α 4 ，
这与α 2 ，α 3 ，α 4 ，α 5 线性无关相矛盾，从而α 5 不能由α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性表出．
α 5 =(k 1 l 2 +k 2 )α 2 +(k 1 l 3 +k 3 )α 3 +(k 1 l 4 +k 4 )α 4 ，
这与α 2 ，α 3 ，α 4 ，α 5 线性无关相矛盾，从而α 5 不能由α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性表出．
问答题
举例说明α
2
能否由α
1
，α
3
，α
4
，α
5
线性表出是不确定的．
【正确答案】
【答案解析】[证明] 设α
2
=(1，0，0，0)
T
，α
3
=(0，1，0，0)
T
，α
4
=(0，0，1，0)
T
，α
5
=(0，0，0，1)
T
，那么
当α 1 =(1，1，1，0) T 时，α 2 可由α 1 ，α 3 ，α 4 ，α 5 线性表出；
而当α 1 =α3时，α 2 不能由α 1 ，α 3 ，α 4 ，α 5 线性表出．
当α 1 =(1，1，1，0) T 时，α 2 可由α 1 ，α 3 ，α 4 ，α 5 线性表出；
而当α 1 =α3时，α 2 不能由α 1 ，α 3 ，α 4 ，α 5 线性表出．