问答题
求f(x，y)=x+xy—x
2
一y
2
在闭区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤2}上的最大值和最小值．
【正确答案】正确答案：这是闭区域上求最值的问题．由于函数f(x，y)=x+xy一x
2
-y
2
在闭区域D上连续，所以一定存在最大值和最小值． 首先求f(x，y)=x+xy一x
2
一y
2
在闭区域D内部的极值： 解方程组
得区域D内部唯一的驻点为
由 g(x，y)=(f
xy
")
2
一f
xx
"f
yy
"=一3，f
xx
"=一2，得f(x，y)=x+xy—x
2
一y
2
在闭区域D内部的极大值
再求f(x，y)在闭区域D边界上的最大值与最小值： 这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件． 在z轴上约束条件为y=0(0≤x≤1)，于是拉格朗日函数为 F(x，y，λ)=x+xy一x
2
一y
2
+λy，
在下边界的端点(0，0)，(1，0)处f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以下边界的最大值为
最小值为0． 同理可求出： 在上边界上的最大值为一2，最小值为一4； 在左边界上的最大值为0，最小值为一4； 在右边界上的最大值为
，最小值为一2． 比较以上各值，可知函数f(x，y)=x+xy一x
2
一y在
2
闭区域D上的最大值为
得区域D内部唯一的驻点为
由 g(x，y)=(f
xy
")
2
一f
xx
"f
yy
"=一3，f
xx
"=一2，得f(x，y)=x+xy—x
2
一y
2
在闭区域D内部的极大值
再求f(x，y)在闭区域D边界上的最大值与最小值： 这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件． 在z轴上约束条件为y=0(0≤x≤1)，于是拉格朗日函数为 F(x，y，λ)=x+xy一x
2
一y
2
+λy，
在下边界的端点(0，0)，(1，0)处f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以下边界的最大值为
最小值为0． 同理可求出： 在上边界上的最大值为一2，最小值为一4； 在左边界上的最大值为0，最小值为一4； 在右边界上的最大值为
，最小值为一2． 比较以上各值，可知函数f(x，y)=x+xy一x
2
一y在
2
闭区域D上的最大值为
【答案解析】