已知二次函数f(x)的二次项系数为实数a，且其图象与直线2x+y=0交点的横坐标为1和3。
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围。
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围。
【正确答案】解：根据题意，f(x)与2x+y=0的交点为(1，-2)、(3，-6)，设f(x)=ax2+bx+c，将上述两个交点代入，有a+b+c=-2，9a+3b+c=-6．
整理可得b=-2-4a，c=3a。
f(x)+6a=ax2-(2+4a)x+3a+6a=ax2-(2+4a)x+9a，有两个相等实根，则有(2+4a)2-4×a×9a=0，解得a=1或
，相应可得f(x)的解析式为f(x)=x2-6x+3或
。
f(x)=ax2-(2+4a)x+3a有最大值，则a＜0。
最大值为
由
，可解得
整理可得b=-2-4a，c=3a。
f(x)+6a=ax2-(2+4a)x+3a+6a=ax2-(2+4a)x+9a，有两个相等实根，则有(2+4a)2-4×a×9a=0，解得a=1或
，相应可得f(x)的解析式为f(x)=x2-6x+3或。f(x)=ax2-(2+4a)x+3a有最大值，则a＜0。
最大值为
由
，可解得【答案解析】